Global controllability of nonviscous Burgers type equations

We are interested in the global controllability of nonviscous Burgers type equations on a bounded interval. We have three controls: two are the boundary values, one is the right member of the equation and is constant with respect to the space variable. It has already been shown that boundary controls are not sufficient to have global controllability in small time. We prove here that the introduction of this new control in the right member of the equation allows us to obtain global controllability, even in small time. To cite this article: M. Chapouly, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007). © 2007 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved. Résumé Contrôlabilité globale d’équations du type Burgers non visqueuses. On s’intéresse à la contrôlabilité globale d’équations du type Burgers non visqueuses sur un intervalle borné. Nous avons trois contrôles : les deux valeurs au bord et le membre de droite de l’équation, supposé constant par rapport à la variable d’espace. Il a déjà été démontré que des contrôles au bord ne suffisent pas pour obtenir la contrôlabilité globale en temps petit. Nous montrons ici que l’introduction de ce nouveau contrôle dans le membre de droite permet d’avoir contrôlabilité globale pour tout temps. Pour citer cet article : M. Chapouly, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007). © 2007 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved. Version française abrégée Soient T , L> 0. Soit α ∈ C1([0,L]) telle que α(x) > 0 pour tout x ∈ [0,L]. On s’intéresse au système de contrôle suivant, modélisé par une équation du type Burgers non visqueuse, yt + α(x)yyx = u(t), (t, x) ∈ [0, T ] × [0,L]. (1) C’est un système de contrôle où, au temps t ∈ [0, T ], l’état est y(t, ·) ∈ C1([0,L]) et les contrôles sont y(t,0), y(t,L) et u(t) ∈R. L’objectif de cette Note est de montrer que le système (1) est globalement contrôlable. Plus précisément, on montre le théorème suivant : E-mail address: [email protected]. URL: www.math.u-psud.fr/~chapouly/. 1631-073X/$ – see front matter © 2007 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved. doi:10.1016/j.crma.2006.12.016 242 M. Chapouly / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007) 241–246 Théorème 0.1. Pour tout T > 0, pour tout L > 0, pour toute fonction α ∈ C1([0,L]) telle que α > 0 sur [0,L], pour toutes fonctions y0 et y1 ∈ C1([0,L]), il existe y ∈ C1([0, T ] × [0,L]) et il existe u ∈ C0([0, T ]) nulle en 0 et T satisfaisant (1) et y(0, x)= y0(x), x ∈ [0,L], (2) y(T , x)= y1(x), x ∈ [0,L]. (3) Nous commençons par rappeler les principaux résultats antérieurs concernant la contrôlabilité exacte de l’équation de Burgers non visqueuse (i.e. le cas où α := 1), dans le cas où u := 0 : – dans [1], Fabio Ancona et Andrea Marson décrivent l’ensemble des états atteignables, partant de y0 := 0, pour des lois de conservation scalaires et non linéaires du type yt + {f (y)}x = 0, où f est une fonction de classe C2 strictement convexe. Ils montrent en particulier que pour l’équation de Burgers non visqueuse, tant que le temps de contrôlabilité est plus petit que L/M (où M est une constante > 0), on n’a pas contrôlabilité exacte à l’état y1 :=M . – dans [8], Thierry Horsin utilise la méthode du retour – introduite et utilisée par Jean-Michel Coron dans [3–5] – pour décrire l’ensemble des états atteignables pour l’équation de Burgers non visqueuse. Il démontre en particulier que tout état final constant y1 :=M peut être atteint, partant de y0 := 0, en un temps T > L/|M|, au moyen d’un contrôle par le bord. L’équation de Burgers non visqueuse est souvent considérée comme l’analogue de l’équation d’Euler des fluides parfaits incompressibles en dimension 1. Or Jean-Michel Coron et Olivier Glass ont démontré respectivement dans [4,5] et dans [6,7] que cette dernière équation est globalement contrôlable. Il peut donc sembler étrange de ne pas obtenir des résultats similaires pour l’équation de Burgers non visqueuse. Comparant alors les équations de Burgers et d’Euler, nous avons pensé que le fait de rajouter un terme de contrôle u(t) dans le membre de droite de l’équation de Burgers pourrait avoir un effet semblable au terme de pression dans l’équation d’Euler des fluides parfaits incompressibles. Il semblerait que ce soit le cas, puisque c’est dans ce contrôle u(t) que réside la principale différence entre ce travail et [1] et [8]. Et de fait, nous obtenons ici des résultats d’une nature différente de celle des travaux antérieurs, puisque nous montrons qu’on a bien contrôlabilité globale d’équations du type Burgers non visqueuses. Donnons maintenant quelques éléments de la démonstration du Théorème 0.1. (Pour la démonstration complète, voir [2].) Nous nous intéressons d’abord à la contrôlabilité du linéarisé du système de contrôle (1) autour de la solution nulle, à savoir yt = u(t). Il est clairement non contrôlable. Faisant à nouveau l’analogie entre l’équation de Burgers non visqueuse et l’équation d’Euler des fluides parfaits incompressibles, nous envisageons d’utiliser la méthode du retour, introduite par Jean-Michel Coron dans [3] et utilisée par ce dernier dans [4,5] et par Olivier Glass dans [6,7] pour montrer des résultats de contrôlabilité globale. Cette méthode consiste à trouver des trajectoires allant de 0 à 0 et ayant un linéarisé contrôlable (ou ayant de « bonnes » propriétés de contrôlabilité autour d’elles). Nous regardons donc le linéarisé du système de contrôle (1) autour d’une trajectoire particulière (ȳ, ū)= (a, a′) où a ∈ C∞([0, T ]) est nulle dans un voisinage de 0 et de T et a 0 sur [0, T ]. Ce linéarisé, yt + α(x)a(t)yx = v(t), est contrôlable si ∫ T 0 a(t)dt > ∫ L 0 1/α(x)dx. Nous avons donc de l’espoir pour la suite. L’équation (1) étant réversible par rapport au temps, il suffit de voir que l’état y1 := 0 est atteignable. De plus, le résultat que nous souhaitons obtenir est un résultat de contrôlabilité globale. Il paraît judicieux de s’intéresser pour commencer à la contrôlabilité locale du système (1). D’autant que des changements d’échelles permettent de montrer, pour ce système, que la contrôlabilité locale implique la contrôlabilité globale. Par un évident changement de variables, nous nous ramenons enfin à l’étude de la contrôlabilité du système suivant : yt + α(x)(a(t)+ y)yx = 0, t ∈ [0, T ], x ∈ [0,L], (4) y(0, x)= y0(x), x ∈ [0,L], (5) y(T , x)= 0, x ∈ [0,L], (6) où a ∈ C∞([0, T ]) vérifie les conditions suivantes : a est nulle dans un voisinage de 0 et de T , a 0 sur [0, T ], et ∫ T a(s)ds > ∫ L 1/α(x)dx. 0 0 M. Chapouly / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007) 241–246 243 Nous prouvons la contrôlabilité de ce système grâce au théorème du point fixe de Schauder. En effet, soit F :C1([0, T ] × [0,L])→ C1([0, T ] × [0,L]) y → z, (7) où z est une solution de zt + α(x) ( a(t)+ y)zx = 0, t ∈ [0, T ], x ∈ [0,L], (8) z(0, x)= y0(x), x ∈ [0,L], (9) et sera explicitée ultérieurement. Si z vérifie en outre z(T , ·)= 0, (10) il devient alors clair qu’un point fixe de F est solution de (4)–(6). Pour construire z, nous commençons par prolonger les fonctions y0 et y en des fonctions ỹ0 et ỹ de classe C1 et à support compact sur R et [0, T ] × R respectivement. La fonction α est, elle, prolongée en une fonction α̃ de classe C1, bornée et strictement positive sur R. Le flot φ̃ associé à l’e.d.o. ξ̇ = α̃(ξ)(a(t)+ ỹ(t, ξ)) est alors défini sur [0, T ] × [0, T ] ×R. Nous pouvons donc définir z ∈ C1([0, T ] × [0,L]) par z(t, x)= ỹ0(φ̃(0, t, x)), (t, x) ∈ [0, T ] × [0,L]. (11) La fonction z satisfait bien (8) et (9). Nous montrons après quelques calculs que l’équation (10) est elle aussi satisfaite lorsque |y|C1([0,T ]×[0,L]) R, où R > 0 est assez petit. Enfin, nous prouvons l’existence de deux constantes C et C0 > 0 telles que pour |y|C1([0,L]) C, l’ensemble K := {y ∈ BR; pour tout ρ > 0, ωρ(yt ) + ωρ(yx) 2C0ωρ(ỹ x) + ρ + ωρ(α̃x)} – où ωρ(y) désigne le module de continuité de y – est convexe, compact et vérifie F(K)⊂K , ce qui nous donne le Théorème 0.1.